В предыдущем разделе была рассмотрена надежностная модель системы, состоящей из m последовательно соединенных блоков, каждый из которых содержит по n параллельно соединенных элементов. Было показано, что поведение этой системы решающим образом зависит от начальных условий. Если система исходно идеальна, т.е. если вероятность q для элементов быть исходно работоспособными равна единице, то модель приводит к степенному закону роста интенсивности смертности (закону Вейбулла). Если же, наоборот, система с самого начала насыщена дефектами, и вероятность элементов быть исходно работоспособными близка к нулю. модель приводит к экспоненциальному закону роста интенсивности смертности (закону Гомперца). В обоих случаях, однако, существует верхний предел роста интенсивности смертности, определяемый произведением числа блоков (m) на интенсивность отказа элементов (k). В данном разделе будет рассмотрен более общий случай, когда вероятность элемента быть исходно работоспособным может принимать любые положительные значения: 0 < q <= 1.
В общем случае распределение блоков в организме по числу исходно работоспособных элементов описывается не законом Пуассона, а биномиальным распределением. Для исходно живого организма это распределение должно быть усечено слева, поскольку, согласно модели, организм, содержащий блок без работоспособных элементов (i = 0) не может быть живым.
Поэтому распределение блоков по числу i исходно работоспособных элементов внутри исходно живых организмов задается следующими значениями вероятности Pi:
где с - нормирующий множитель, обеспечивающий равенство единице для суммы вероятностей всех событий.
Интенсивность отказов системы, построенной из т последовательно соединенных блоков, равна сумме интенсивностей отказов этих блоков:
Как уже отмечалось, в начальный момент времени, когда х << 1/k, интенсивность отказа блока с i исходно работоспособными элементами равна:
Сопоставляя две приведенные выше формулы, получаем:
Учитывая, что
для i = 1,2,3...n, получаем:
Представленная в этом выражении сумма является биномом Ньютона для выражения
Поэтому можно записать:
где
параметр, который мы предлагаем называть начальным виртуальным возрастом системы. Действительно, этот параметр имеет размерность времени и соответствует возрасту, в течение которого исходно идеальная система накопила бы столько дефектов, сколько реальная система уже имеет в начальный момент времени (при х = 0). В частности, когда q = 1, т.е. когда все элементы исходно работоспособны, начальный виртуальный возраст системы равен нулю и интенсивность смертности растет с возрастом по степенному закону (закону Вейбулла), что соответствует случаю, разобранному в разделе 6.5 данной книги. Таким образом, предложенная здесь обобщенная надежностная модель является теоретическим обоснованием биномиального закона смертности.
В случае, когда Х0 > 0, всегда существует начальный период времени, такой, что x << x0 и справедливо следующее приближение биноминального закона:
Следовательно, при любом значении q < 1 всегда существует начальный период времени х, когда число вновь образовавшихся дефектов много меньше их исходного числа, и интенсивность смертности экспоненциально растет с возрастом:
итак, если система исходно неидеальна {q < 1), то интенсивность смертности в начальный период времени экспоненциально растет с возрастом (по закону Гомперца).
Обсуждаемая модель позволяет объяснить не только экспоненциальное увеличение интенсивности смертности с возрастом, но и компенсационный эффект смертности, описанный в разделе 4.5. Действительно, согласно введенным обозначениям:
т.е.
величины ln R и a параметрически связаны через величину (n - 1), что позволяет представить ln R как функцию a:
Таким образом, компенсационный эффект смертности наблюдается тогда, когда различия в смертности обусловлены межпопуляционными различиями по числу элементов в блоке (n), а другие параметры, включая скорость старения (скорость необратимой гибели элементов k), практически одинаковы для всех сопоставляемых популяций одного вида. Нетрудно заметить сходство подобного объяснения компенсационного эффекта смертности с объяснением, вытекающим из предыдущей модели, описанной в разделе 6.5.
Следует отметить, что продолжительность периода экспоненциального роста интенсивности смертности зависит от величины q. В общем случае поведение системы на участке возрастов 0 < х << 1/k в зависимости от величины q может быть сведено к трем сценариям:
1. 0 < q <=1/2. Данный случай соответствует ситуации, когда исходно работоспособно менее половины общего числа элементов. В этом случае
и, следовательно, x0 >=1/k.
Поэтому во всем интервале, когда x << 1/k, всегда выполняется и условие x << x0. В этом случае интенсивность смертности во всем рассматриваемом интервале экспоненциально растет с возрастом.
2. 1/2 < q < 1. Данный случай соответствует ситуации, когда исходно работоспособно более половины всех элементов. В этом случае
и x0 < 1/k. В данной ситуации возрастная динамика смертности в исследуемом возрастном интервале (0 < x << 1/k) состоит из двух стадий:
a) первая стадия начального периода, когда x << x0 и, следовательно, биномиальный закон смертности сводится к закону Гомперца.
b) вторая стадия начального периода, когда х ~ x0 и применим только биномиальный закон смертности в полном виде без приближений.
3. 1/2 << q < 1. Данный случай соответствует ситуации, когда исходно дефектна лишь очень небольшая часть элементов. В этом случае
и x0 << 1/k, а возрастная динамика смертности состоит из трех стадий:
a) первая стадия начального периода, когда x << x0 и биноминальный закон смертности сводится к закону Гомпарца.
b) вторая стадия начального периода, когда х x0 и применим только биномиальный закон смертности.
c) третья стадия начального периода, когда х << x0 << 1/k и биномиальный закон смертности сводится к степенному закону роста интенсивности смертности (закону Вейбулла).
По мере того как q стремится к единице, продолжительность первой стадии начального периода с экспоненциальным ростом интенсивности смертности стремительно уменьшается, а третьей - стремительно растет. В пределе, в случае исходно идеальной системы (q = 1), мы приходим к закону Вейбулла, справедливому на всем возрастном интервале 0 < x << 1/k. Этот случай уже был описан в разделе 6.5.
Как уже отмечалось, с увеличением возраста интенсивность отказа блоков асимптотически стремится к верхнему пределу интенсивности отказов, не зависящему от числа исходно работоспособных элементов и равному k. Поэтому интенсивность смертности системы, состоящей из m последовательно соединенных блоков, с увеличением возраста асимптотически стремится к верхнему пределу интенсивности смертности, равному mk, независимо от величин n и q.
Таким образом, обсуждаемая надежностная модель позволяет объяснить основные закономерности смертности организмов: экспоненциальный рост интенсивности смертности в начальный период с последующим замедлением темпов ее роста, а также компенсационный эффект смертности. Кроме того, обсуждаемая модель позволяет выяснить условия, при которых наблюдается не экспоненциальный, а степенной закон роста интенсивности смертности (закон Вейбулла). Наконец, предложенная модель позволяет представить два на первый взгляд взаимоисключающих закона - Гомперца и Вейбулла - как частные случаи одного, более общего биномиального закона смертности, получившего в данной модели строгое теоретическое обоснован и е.
Согласно предложенной модели, судьба неработоспособных элементов и их гибель совершенно не влияют на выводы модели Поэтому модель будет справедлива и в том случае, если все неработоспособные элементы уже погибнут к моменту формирования взрослого организма, и он будет состоять только из работоспособных элементов (клеток) Важно, что при этом все равно останется след в виде биномиального распределения блоков по числу работоспособных элементов внутри организма Собственно говоря, в этом и состоит суть модели, а рассуждения об исходно дефектных элементах являются лишь одним из возможных обоснований причин вариабельности по степени резервирования Поэтому предложенная модель может быть названа также моделью последовательно соединенных блоков с варьирующей степенью резервирования
С учетом сделанных замечаний основной вывод модели может быть переформулирован следующим образом "Если жизненно важные блоки системы различаются по степени их резервирования, то интенсивность смертности в начальный период времени экспоненциально растет с возрастом (по закону Гомперца)" Это утверждение справедливо при любой форме биномиального распределения блоков в организме по степени их резервирования с отрицательной (левосторонней) асимметрией, полностью симметричной (нормальный закон распределения), и с положительной (правосторонней) асимметрией Единственное влияние формы распределения состоит в том, что при отрицательной (левосторонней) асимметрии распределения экспоненциальный рост интенсивности смертности может продолжаться недолго, а в случае симметричного распределения и распределения с положительной асимметрией период экспоненциального роста интенсивности смертности значительно более продолжителен
Предложенная модель позволяет также устранить противоречие между экспоненциальным ростом интенсивности общей смертности и степенным ростом интенсивности смертности от ряда болезней Действительно, классификация болезней и причин смерти во многом основана на анатомическом принципе и учете поражения отдельных органов (блоков) организма Между тем из рассмотренной модели следует, что каждый блок системы отказывает именно по степенному закону, что в итоге приводит к экспоненциальному росту интенсивности общей смертности Следует, однако, отметить, что подобное объяснение, да и сама модель предполагают исходную однородность организмов по числу содержащихся в них блоков с различной степенью резервирования Поэтому заслуживает внимания анализ исходно гетерогенной популяции, которому посвящен следующий раздел книги
См. также:
6.1. Введение в проблему
6.2. Необходимость критического отношения к математическим моделям продолжительности жизни
6.3. Предельные распределения времени жизни биологических систем
6.4. Модель лавинообразного разрушения организма при естественном старении
6.5. Модель многократно резервированной системы, насыщенной дефектами
6.7. Модель гетерогенной популяции
6.8. Модель накопления дефектов с постоянной интенсивностью потока повреждений
6.9. Проблема многообразия причин смерти и их взаимодействия
6.10. Заключительные замечания
Обсудить на форуме
