Подводя итоги рассмотрению математических моделей продолжительности жизни, сформулируем условия, которым должны удовлетворять предлагаемые математические модели, а также кратко обсудим две проблемы, возникающие при математическом моделировании: проблему соотношения гетерогенности и стохастичности и проблему возникновения старения.
Проблема соотношения гетерогенности и стохастичности. Большинство существующих моделей продолжительности жизни довольно четко могут быть разложены на две группы. Первая группа моделей связывает наблюдаемое распределение по срокам жизни только с гетерогенностью популяции. Эти модели хорошо согласуются с фактом существования групп повышенного риска, а также с явной неоднородностью большинства изучаемых популяций по многим исследуемым признакам. Эти модели, однако, по существу, утверждают фатальную предопределенность продолжительности жизни каждого индивидуума. Кроме того, они нередко предполагают генетическую природу наблюдаемой гетерогенности, что не согласуется с известными фактами о низкой наследуемости продолжительности жизни (см. раздел 2.3).
Другая группа моделей объясняет наблюдаемое распределение по срокам жизни стохастической природой процесса вымирания, по аналогии с тем, как это происходит при распаде идентичных атомов радиоактивного элемента. В рамках таких моделей индивидуумы в принципе неразличимы между собой, что противоречит факту о существовании групп повышенного риска.
Ясно, что обе группы моделей отражают две крайние точки зрения, а полноценная модель продолжительности жизни, по-видимому, должна органически сочетать идеи стохастичности и гетерогенности. Это можно сделать, если представить процесс выживания в виде серии случайных последовательных переходов от начального (здорового) состояния организма до конечного (летального) состояния. -Тогда даже в исходно однородной популяции с течением времени неизбежно возникает гетерогенность по риску смерти, что соответствует существованию групп повышенного риска [Козловский, Гаврилов, 1983; Гаврилов. 1987].
Проблема возникновения старения. Как известно, период старения (период роста интенсивности смертности с возрастом) занимает большую часть продолжительности жизни организмов, поэтому любая модель продолжительности жизни должна объяснить существование этого периода. В настоящее время уже стало традицией объяснять старение организма через старение его подсистем. Однако, как мы уже отмечали, такое традиционное объяснение старения через старение неизбежно ведет в логический тупик, ибо, переходя от старения организма последовательно к старению органов, тканей и клеток, мы в конце концов доходим до атомов, которые, как известно, не стареют. Таким образом, ключевым моментом в объяснении старения является вопрос: как объяснить старение системы, построенной из нестареющих элементов? Аналогичная проблема возникает и при сравнительно-эволюционном рассмотрении процесса старения. Действительно, ведь многие простейшие формы живого, например споры и неделящиеся вегетативные клетки бактерий, не стареют [см.: Козловский, Гаврилов, 1983]. Спрашивается, почему это свойство появляется у более сложно устроенных организмов?
Ответ на этот вопрос также можно получить, исходя из схемы последовательного разрушения организма [Там же]. Оказывается, что если гибель организма происходит не в одну, а в две и более последовательных стадии, то этого достаточно, чтобы появился феномен старения. Биологический смысл этого утверждения состоит в следующем. Каждая стадия разрушения соответствует повреждению одной из жизненно важных структур организма. У простейших организмов с уникальными жизненно важными структурами такое повреждение обычно приводит к их гибели. Именно поэтому дефекты в этих организмах не накапливаются, а сами они не стареют. У более сложно устроенных организмов, которые имеют значительную избыточность по числу жизненно важных структур, далеко не каждое повреждение приводит к гибели. Однако в этом случае происходит накопление дефектов, что и порождает явление старения. Таким образом, старение является прямым следствием повышения надежности и длительности жизни организмов за счет избыточности их жизненно важных структур. Приведенная выше схема позволяет объяснить также такое, казалось бы, парадоксальное наблюдение, что наиболее ярко старение проявляется именно у долгоживущих видов.
В дополнение к этим перечисленным выше проблемам можно также сформулировать и условия, которым должны удовлетворять предполагаемые математические модели продолжительности жизни.
1. Прежде всего должно существовать соответствие между наблюдаемым и теоретически предсказанным распределением длительности жизни. Хотя этот критерий достаточно очевиден и широко применяется [Стрелер, 1964; Strehler, 1978], однако не всегда его возможности используются в полной мере. В частности, далеко не все модели согласуются с законом Гомперца-Мейкема. Разумеется, от модели не требуется, чтобы совпадение с этим законом было абсолютным, поскольку и реальные данные иногда отклоняются от этой закономерности. Однако любая модель должна включать закон Гомперца-Мейкема как частный случай теоретически ожидаемого распределения при определенных соотношениях параметров. В связи с этим интересно отметить, что известная модель Стрелера- Милдвана не согласуется с законом Гомперца-Мейкема уже потому, что она не согласуется с принципом суммы двух типов смертности. Это несоответствие модели вытекает из ее основного постулата, согласно которому флуктуации внутренней и внешней среды объединены, и в дальнейшем уже рассматривается распределение именно этой суммы [Strehler, Mildvan, I960]. Интересно отметить, что описанная ранее модель случайных последовательных переходов удовлетворяет закону Гомперца-Мейкема.
2. Модели продолжительности жизни должны допускать возможность значительного изменения сроков жизни при неизменной биологической конституции организмов и, в частности, согласовываться с историческим фактом снижения смертности людей. Это условие особенно актуально для претендующих на фундаментальность биологических моделей, в которых "забыты" социально контролируемые составляющие продолжительности жизни [Кольтовер, 1983]. Эти модели легко проверить, рассчитав их параметры по таблицам дожития населения до и после демографической революции. Ясно, что если в течение этого сравнительно короткого периода произойдет достоверное изменение коэффициента, интерпретируемого как число рилизинг-факторов у человека, то такая модель может представлять интерес лишь для автора модели.
3. Важным критерием проверки справедливости модели является ее способность объяснить явление исторической стабильности возрастной компоненты смертности. При этом опять же нет необходимости в том, чтобы модель предполагала абсолютную историческую неизменность возрастной компоненты смертности, поскольку на практике она может незначительно изменяться. Важно, однако, чтобы модель могла объяснить относительную стабильность возрастной компоненты смертности на фоне резкого снижения самой общей смертности. Как уже отмечалось, это, по-видимому, можно сделать исходя из гипотезы случайных последовательных переходов.
4. Модель продолжительности жизни должна согласовываться с данными о региональных и половых различиях по величине возрастной компоненты смертности людей. При этом интерпретация таких различий должна согласовываться с известными фактами.
5. Существование видовых инвариант продолжительности жизни организмов (компенсационный эффект смертности) является очень важным и очень трудным для объяснения фактом Следует отметить, что аналогичное явление, также называемое компенсационным эффектом, давно известно в физической химии, а также в химической и биологической кинетике [см: Мунблит, Трофимов. 1985). Однако. несмотря на то что эти области науки являются несравненно более развитыми, удовлетворительного объяснения наблюдаемого там компенсационного эффекта до сих пор нет.
6 Наконец, следует отметить, что модели, предсказывающие существование абсолютного предела продолжительности жизни организмов, обычно оказываются нежизнеспособными, так как они не согласуются с наблюдаемой динамикой смертности в старших возрастах [Гаврилов, 1984в; Гаврилов и др., 1984]. Модели продолжительности жизни должны описывать замедление темпов роста интенсивности смертности с возрастом и ее постоянство в предельно старших возрастах (Гаврилова. Гаврилов, 1982]. Интересно отметить. что гипотеза случайных последовательных переходов предсказывает такое постоянство интенсивности смертности в любых своих конкретных вариантах и при любых соотношениях констант. Качественно это соответствует тому, что по мере накопления дефектов вся избыточность организма по числу жизненно важных элементов в конце концов исчезает. В результате организм вырождается в систему без резервирования, т.е. в систему с последовательным в смысле теории надежности соединением элементов, когда любой новый дефект приводит к смерти. Таким образом, использование теории надежности и в данном случае оказывается плодотворным.
Подводя итоги рассмотрению математических моделей продолжительности жизни, следует еще раз подчеркнуть, что они являются не целью, а методом исследования. Поэтому основное внимание было уделено не столько обсуждению конкретных моделей, формул и математических преобразований, сколько обсуждению содержательной стороны математического моделирования продолжительности жизни. Широкое применение математических моделей и методов для изучения механизмов старения и смертности - новый и неизбежный этап развития биологии продолжительности жизни. Этому этапу сопутствует значительное число ошибок и промахов в публикуемых работах, поэтому необходим их тщательный критический анализ. Подобные погрешности, однако, являются неизбежной болезнью роста и не должны дискредитировать саму идею количественного подхода. Анализ современных математических моделей и методов, применяемых в биологии продолжительности жизни, показывает, что они вполне адекватны сложности изучаемых явлений. И хотя говорить о создании завершенной математической теории продолжительности жизни организмов пока еще преждевременно, можно уже не сомневаться в плодотворности математического моделирования, основанного на своеобразном синтезе методов теории надежности и кинетики биологических процессов.
См. также:
6.1. Введение в проблему
6.2. Необходимость критического отношения к математическим моделям продолжительности жизни
6.3. Предельные распределения времени жизни биологических систем
6.4. Модель лавинообразного разрушения организма при естественном старении
6.5. Модель многократно резервированной системы, насыщенной дефектами
6.6. Модель резервированной системы с произвольным числом дефектов
6.7. Модель гетерогенной популяции
6.8. Модель накопления дефектов с постоянной интенсивностью потока повреждений
6.9. Проблема многообразия причин смерти и их взаимодействия
Обсудить на форуме
