Нами проведен анализ прочности костной ткани с точки зрения теории сопротивления материалов [2]. Прочность кости определяется ее упругостью и пределом прочности. Упругость определяет изгиб f образца под действием внешней силы по закону Гука. Предел прочности - это наибольшее напряжение ?max, которое может выдержать материал без разрушения, и определяется критической силой Р, при которой происходит разрушение. По закону Гука ?max = f E, где Е - модуль упругости, который характеризует жесткость кости и зависит от ее формы, размеров, строения и структуры материала, т.е. он в общем случае не постоянен по объему. Наибольшее напряжение образца, отвечающее предельной силе Р, называется теоретической прочностью, которая приблизительно равна 0,1 Е [2]. Практическая прочность существенно зависит от строения материала. Таким образом, можно считать, что прочность кости на излом под действием силы Р определяется величиной f Е, или ?max . Решение задачи о нахождении зависимости ?max от силы Р для образца кости связано со сложностью постановки самой задачи. В теории сопротивления материалов задачи решаются обычно для образцов правильной геометрической формы, однородных по объему, принимая постоянным модуль Юнга Е, не учитывается наличие элементов жесткости по объему (как имеет место в реальности для кости) и ряд других упрощений, позволяющих точно или приближенно решить задачу.
Наша задача состояла в нахождении решения в первом приближении для оценки параметров, определяющих прочность кости, а именно максимальное напряжение ?max, возникающее под действием предельной силы Р, при которой происходит разрушение кости (перелом).
Было принято, что образец кости - сплошной цилиндр длиной L круглого сечения диаметром D или труба кольцевого сечения с внутренним диаметром d (трубчатая кость), модуль Юнга и плотность материала постоянны по объему. Образец располагается на двух опорах на расстоянии L и посередине на него действует сила Р. Для хрупких материалов прогиб образца не учитывается.
Расчет на прочность проводится по наибольшим нормальным напряжениям ?max, возникающим в среднем сечении образца. Условие прочности имеет вид
где [?] - допустимое напряжение, [Па].
Для данной задачи [?]= ?max. В среднем сечении под действием силы Р возникает наибольший изгибающий момент Mmax. Для этого сечения условие прочности определяется выражением
где W - момент сопротивления сечения - геометрическая характеристика прочности образца, работающего на изгиб, размерность - [м3].
Расчетные зависимости для Mmax и W имеют вид:
где с= d/D, для сплошного цилиндра с=0.
Подставляя выражения (3) и (4) в уравнение (2), получаем формулы прочности:
для кольцевого сечения
для сплошного цилиндра
Данное решение позволяет оценить параметры, от которых зависит прочность образца кости.
Используя формулу (5), мы можем определить прочность кости у животных в остром опыте по диаметру кости и силе перелома (при постоянном плече перелома). Допущением является одинаковое соотношение d/D для мышей разного возраста, что дает постоянный коэффициент k=1-c4, который можно не учитывать в расчетах. Таким образом, окончательной формулой для оценки прочности кости будет формула (7), в которой можно опустить численный коэффициент и L, так как при методике определения перелома кости L является постоянной экспериментальной величиной; назовем это значение прочностью - S:
Альтернативными единицами могут служить: относительная масса кости к массе тела и отношение критической силы «P» к массе тела, а также относительное содержания кальция к массе кости, отражающее степень минерализации кости.
См. также: 
Литература.
Обсудить на форуме
